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圆锥曲线的教学动机与作图器的製作(Motivation to

2020-06-26



一、前言

一个数学教师在教学过程所碰到的问题,必须能够靠自己的专业训练寻求解答。他/她可以藉助于自身的教学经验、同侪的帮忙,或是寻求书本中的知识,藉此造就自己的专业成长。在教师寻求解答的许多途径中,他/她在数学史中所获得的背景资料与相关知识,经过适当的剪裁与应用,可以让数学教师更深入诠释教科书中的数学知识,进一步转化成适合的教材,让学生在学习过程中,更全面地体会、欣赏与吸收老师所教与的数学知识,让教师与学生同时获得成长。

然而,如何将数学史「适当」应用于教学中,通常是数学教师不敢轻易尝试的主因之一。以下,笔者就以圆锥曲线的教学为例,先简单的陈述如何利用数学史的素材,来引起学生的学习动机;同时,介绍圆锥曲线的机械作图方法,以做为教师在教学时的参考。

二、圆锥曲线教学的「引起动机」

从史料的观点来看「圆锥截痕」,一般认为古希腊数学家对圆锥曲线的兴趣,来自于「三大作图题」中的「倍立方」问题。所谓倍立方问题,即如何为一个正立方体的体积加倍,而且维持形状同样为正立方体;换句话说,即是将一个边长为 $$a$$ 的正立方体体积加倍,要作出一新的正立方体之边长 $$x$$,满足 $$x^3=2a^3$$。这个问题被希波克拉提斯归结为作出两线段长 $$a$$ 与 $$2a$$ 的两个连续比例中项。也就是说,要作出两线段 $$x,y$$ 满足

$$\displaystyle\frac{a}{x}=\frac{x}{y}=\frac{y}{2a}$$

$$x$$ 即为所要求的新正立方体的边长。希波克拉提斯的发现并没有解决倍立方的问题,只是将问题转换成作两个比例中项 $$x$$ 与 $$y$$ 的问题。Menaechmus(约350B.C.)则引入新的曲线,即圆锥曲线来解决这个问题。将连比例式拆成两个等式:$$\frac{a}{x}=\frac{x}{y}$$ 及 $$\frac{a}{x}=\frac{y}{2a}$$,从此,可得方程式 $$x^2=ay$$(或 是$$y=\frac{1}{a}x^2$$),及 $$xy=2a^3$$,因此,倍立方问题中所要求的 $$x$$ 与 $$y$$,即被转换成求两个圆锥曲线的交点了。

当然,在尺规作图的限制中,圆锥曲线无法利用直尺和圆规作出。那幺,吾人究竟应该如何才能画出抛物线、椭圆与双曲线呢?

三、圆锥曲线的作图

现在高中的圆锥曲线教学,通常直接从定义着手,而「定义」并没有办法告诉我们,满足这样定义的曲线长什幺样子。通常,这需要数学教师进一步将「定义」转化成图形,如此,学生才能在学习第一步建立意义。

为此,笔者打算以荷兰数学家F. van Schooten (1615-1660) 在诠释笛卡儿的《几何学》时,所设计的圆锥曲线作图器为材料,提供给数学教师参考,可以让学生实际作出仪器,利用自己作的机械工具作出圆锥曲线;同时,他们也可以将圆锥曲线的概念融合在学习单中,让学生进一步利用这样的作图器将概念整合。

圆锥曲线的教学动机与作图器的製作(Motivation to

(1)椭圆作图器

$$AB$$ 与 $$BE$$ 是两根不一样长度的棍子,在 $$B$$ 点连结;在 $$BE$$ 上取一点 $$D$$,使得 $$\overline{BD}=\overline{AB}$$。将 $$D$$ 点连接在一个轨道尺 $$L$$ 上,$$E$$ 点上放置一枝笔,当 $$D$$ 点沿着 $$L$$ 移动时,在 $$E$$点 的笔所画出的轨迹就是一个椭圆。
除了让学生实际作出这样的仪器之外,还可以设计学习单让学生去证明 $$E$$ 点所画出的轨迹为一椭圆。荷兰数学史家兼数学教育家Jan van Maanen曾设计过这样的学习单,笔者将他的内容稍做修改,并运用让学生容易作答的问题来引导。

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(2)抛物线作图器

将两根轨道尺 $$GI$$ 与 $$GE$$ 垂直放置,让 $$G$$ 点可以沿着 $$GE$$ 移动,并作一可变动角度的菱形 $$BFGH$$,将 $$B$$ 固定在纸面(平面)上,$$G$$ 固定在轨道尺 $$GI$$ 上,同时在对角线 $$F$$ 与 $$H$$ 上钉上一条轨道尺,让菱形 $$BFGH$$ 在变动时,此轨道尺皆保持为菱形的对角线。在轨道尺 $$FH$$ 与 $$GI$$ 的交点 $$D$$ 放置一枝笔,当 $$G$$ 沿着 $$GE$$ 移动时,$$D$$ 点所画出的轨迹即为抛物线。因为 $$\triangle{BHD}\simeq\triangle{GHD}$$,所以 $$\overline{BD}=\overline{GD}$$,即抛物线上的动点 $$D$$ 满足到焦点 $$B$$ 的距离等于到準线 $$GE$$ 的距离。

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(3)双曲线作图器

$$AD$$ 与 $$AF$$ 为两根相同长度的轨道尺,交点为 $$A$$,其中 $$\overline{CD}=\overline{GF}$$;且作 $$\overline{DG}=\overline{CF}$$,$$D$$ 与 $$G$$ 以钉子钉在轨道尺上,使其当 $$A$$ 移动时可跟着旋转。将 $$C$$ 与 $$F$$ 固定在纸面(平面)上,拉着两根轨道尺使 $$A$$ 点移动,$$A$$ 点所画出的轨迹即为双曲线。
因为 $$\overline{AD}=\overline{AF}$$,$$\overline{CD}=\overline{GF}$$ 所以 $$\overline{AC}=\overline{AG}$$,故 $$\overline{AF}-\overline{AC}=\overline{CD}$$(固定长)。
即动点 $$A$$ 到两焦点 $$C$$、$$F$$ 的距离差为一定值。

圆锥曲线的教学动机与作图器的製作(Motivation to

参考资料:



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