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圆锥曲线的命名(Genesis of the Concept

2020-06-26



揭开高中课程中圆锥曲线的序幕,一般都以一圆锥被一平面所截的截痕形状为何当作开场白,很自然的就会出「抛物线」、「椭圆」与「双曲线」这种描述。

虽然这样的命名与汉字的「象形」或「假借」的精神十分贴近,但也造成许多人在不自觉的情形下,常常误以为一段曲线就是「抛物线」,例如每当颱风季节来临,新闻主播偶会使用「抛物线」,来回顾过去一段时间或预测未来颱风的可能走向或路径;也常会有人用「椭圆」这个字眼,来描述不像圆而又似乎是圆的形状,譬如,常见的是学校操场外型是不是椭圆;最令人感兴趣的是,每当授完「圆锥曲线」这一单元后,部分学生对于双曲线是不是由两条「抛物线所组成」的问题,却无法精确的回答!

由此可见,「形」与「义」之间的对应,套用在严谨的数学上,需要更多的釐清与说明,才能有效的区隔「数学语言」与「生活语言」的差异。此处,笔者通常会引入西方语言来看「圆锥曲线」的命名,除了可以注入一些课堂教学素材外,也可以正向地增强学生对于圆锥被一平面所截的动态印象!

大体而言,圆锥曲线研究是由欧几里得(Euclid, 公元前4世纪)与阿波罗尼斯(Apollonius of Perga, 260BC~190BC)以圆锥被一平面从不同的角度所截来看待,方开始蓬勃发展。现在我们以代数方式来学习圆锥曲线,似乎极为自然,但对于古希腊几何学而言,也不陌生,例如欧几里得称一个直角三角形以一股为轴旋转,斜边转出而成的曲面叫圆锥,用平面以不同的角度来切割,即可切出三种不同的截痕。

圆锥曲线的命名(Genesis of the Concept

阿波罗尼斯是古希腊时代伟大的几何学家和天文学家,他有许多着作,其中最重要的,是晚年所写的《圆锥曲线论》(Conic Section),共有八卷,书中详细讨论了圆锥曲线的各种性质,他把希腊几何学的盛况带到颠峰。在阿波罗尼斯之前,约西元前四百年左右,古希腊数学家梅纳克门斯(Menaechmus, 380BC~320 BC)以三种不同的直圆锥面截出了抛物线、椭圆、双曲线(其中的一支)。阿波罗尼斯则利用一个圆锥面(不论是直圆锥面或斜圆锥面),由不同角度的截面截出四种不同的曲线,他也是第一个发现双曲线应该有两支的人。

现在所用的名称如:hyperbola(双曲线)、parabola(抛物线)以及ellipse(椭圆)此三字是阿波罗尼斯延续欧几里得的观点所使用的。从字母表面根本看不出个玄虚,若单从一般从字典,亦只能发现hyper-表「超过」、「多」之意;para-表「平行」之意;而ellipsis为「省略」之意。事实上,阿波罗尼斯对圆锥曲线所提出hyperbola(双曲线)、parabola(抛物线)以及ellipse(椭圆)这三个字,是谓「超过」、「重合」或「短于」的三个意思,说得更朋白一些hyperbole、parabole及ellipsis,就是more、equal及less之意。

圆锥曲线的命名(Genesis of the Concept

由上面四个图,可以看到:

(1) 当一截平面与倾斜超过(more than)圆锥的倾斜角 \(\theta\) 其截面为双曲线,如图一。(2) 当一截平面与倾斜等于(equal to)圆锥的倾斜角 \(\theta\) 其截面为抛物线,如图二。(3) 当一截平面与倾斜少于(less than)圆锥的倾斜角 \(\theta\) 其截面为椭圆,如图三。

这样的内容引入,可视学生的反应,可长可短,一般而言效果不错!记忆中,笔者曾担任所谓「人文社会科学资优班」的数学教师,就凭着「科学」两个字,对于学生提出「是谁翻译的?」的疑问,笔者才会进一步由「西方科技知识大量引入东方,始于明末清初传教士」开始讲起,而在1852~1859时期,清代算学家李善兰提出了许多独创性的翻译名称,例如「代数」、「函数」、「方程式」、「微分」与「积分」等,算是课堂上的「另类话题」。

当然,在这里并不是要贬低东方汉学语法不科学或是较为粗糙!相反地,有机会可以提醒学生,现在能够解读两三千年人类祖先留下来的文字,就属汉字!其最大的优势就是在「六书」的造字方式。

一般西方人显然不会从字面上把 “circle”,“ellipse” 搞混,但两个字却缺乏连结。反倒是我门可以在线性变换或是椭圆参数引入时,可以约略领悟到「椭圆」是由「圆」压扁变形的!



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