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圆锥截痕两坐标长度的几何关係(Geometric Relat

2020-06-26


现在学圆锥曲线大多是用坐标的方法。古希腊则不然,他们从圆锥截痕的观点入手,两坐标之间的关係是立体几何的结果。圆锥截痕的圆锥可以是一般的,不必限于直圆锥,与圆锥相截之平面的相截角度可以是任意的。但最初的研究是从直圆锥及垂直相截角度入手,这样所需几何操作相对简单多了。

先考虑抛物线的情形。

如图一,直圆锥顶角 $$\angle AQD$$ 为直角,$$QA$$、$$QD$$ 为母线。

$$A$$ 为截面与圆锥母线的垂直接触点,$$AE$$ 为截痕的对称轴,

它与母线 $$QA$$ 垂直,与母线 $$QD$$ 平行。$$QE$$ 为圆锥的轴线。

设 $$P$$ 为截痕上的一点,过 $$P$$ 而垂直于轴线 $$QE$$ 的平面,交圆锥于一圆(虚线所示),

而此圆与母线 $$QA$$、$$QD$$ 交于 $$B$$、$$C$$。

此圆含截痕的另一点 $$P’$$,而 $$PP’$$ 为 $$AE$$ 垂直平分于一点 $$M$$,因此也为 $$BC$$ 垂直平分于 $$M$$。

图中所有的实线都在 $$\triangle QAD$$ 所在的平面上。

在此平面上作 $$DL\bot AD$$、$$CG\bot BC$$,分别交 $$AE$$ 于 $$L$$、$$G$$。

图中任两直线的(非钝角)交角不是 $$45^\circ$$ 就是 $$90^\circ$$。

圆锥截痕两坐标长度的几何关係(Geometric Relat

如果以 $$A$$ 为原点,$$AE$$ 为正 $$x$$ 轴,

则 $$AM$$ 为 $$M$$ 点的(也是 $$P$$ 点的)$$x$$ 坐标长,$$PM$$ 为 $$P$$ 点的 $$y$$ 坐标长。

因为 $$PM^2=BM\times CM$$

$$=GM\times AM$$($$A$$、$$B$$、$$C$$、$$G$$ 共圆)

$$=AL\times AM$$($$LG=CD=AM$$,因此 $$GM=AL$$),

所以换成坐标,就得 $$y^2=2px$$,其中 $$2p=AL=2AE$$ 为定长,与 $$P$$ 点无关,称为此抛物线的标尺(parameter)。其实 $$2p$$ 就是抛物线过焦点 $$(\frac{p}{2},0)$$,而垂直于对称轴的弦长,称为正焦弦(长)。圆锥截痕两坐标长度的几何关係(Geometric Relat

椭圆的情形稍微複杂,但证明的方向类似。
如图二,$$\angle AQD$$ 为锐角,所以 $$AE$$ 不与 $$QD$$ 平行,这是比较複杂的原因。假设 $$AE$$ 交 $$QD$$ 于 $$A’$$

$$PM^2=BM\times CM=GM\times AM$$

$$=\displaystyle\frac{MC}{AD} \times {AL}\times{AM}$$($$\triangle GMC$$ 与 $$\triangle LAD$$ 相似)

$$=\displaystyle\frac{A’M}{AA’}\times{AL}\times{AM}$$($$\triangle A’MC$$ 与 $$\triangle A’AD$$相似)

$$=\displaystyle\frac{AL}{AA’}\times{AM}\times{A’M}$$

$$AA’$$ 是椭圆的长轴,$$2p=AL=2AE$$ 是标尺,两者都与 $$P$$ 点无关。

令 $$AA’=2a$$,$$b=\sqrt{ap}$$,则上式变成 $$y^2={\frac{b^2}{a^2}}{(2a-x)}$$,可整理成 $$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

这就是以顶点 $$A$$ 为原点,$$AA’$$ 为正 $${x}$$ 轴时,椭圆的方程式,见图三。$$2p$$ 是正焦弦的长度。

圆锥截痕两坐标长度的几何关係(Geometric Relat

$$\angle Q$$ 为钝角时,双曲线的关係式完成相同,只是 $$AE$$ 与 $$QD$$ 相交于相反的方向,如图四。

无论是椭圆或双曲线,如果 $$\angle Q$$ 往直角变动,$$\displaystyle\frac{A’M}{AA’}$$就会趋近于 $$1$$。所以

$$\displaystyle PM^2=\frac{AL}{AA’}\times{AM}\times{A’M}$$

也可适用于抛物线:抛物线时,$$A’$$ 可视为无穷远点,而 $$\displaystyle\frac{A’M}{AA’}=1$$。

从这个观点,这三类曲线同属一族。



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