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圆锥曲线中正焦弦的地位(The status of latu

2020-06-26



如果数学教师想要将圆锥截痕与高中教材中的定义方式作一连结,可以利用阿波罗尼斯的《锥线论》(Conics) 中所提到的相关内容。阿波罗尼斯(Apollonius of Perga, 约262 B. C. ~ 190 B. C.) 在《锥线论》卷一的第11、12、13命题,引入何谓抛物线、双曲线与椭圆。

圆锥曲线中正焦弦的地位(The status of latu简单一点来说,他在平面与圆锥的截痕中,利用已知几个线段的比例,找出一个线段长度,这个线段长即为「正焦弦」(latus rectum)。他再将截痕上任一点的纵座标所成的正方形,与正焦弦及横座标所成的矩行面积作比较,每一种截痕的情况不同,从而定义与给出抛物线、双曲线与椭圆的名称。

在命题 $$11$$ 中,他说当平面与圆锥的一条母线平行地相截时(参考图1),从截出的各个线段长中,我们可以得出一个与抛物线对称轴(他称为直径)垂直的线段 $$HF$$,那幺这个截痕上的任一点 $$K$$ 就会满足:正方形 $$KL=$$ 矩形 $$HF,FL$$。

若以直角座标系的角度来看,任一点 $$K$$ 的纵座标($$y$$ 座标)为 $$KL$$,横座标($$x$$ 座标)为 $$LF$$,即可得方程式 $$y^2=px$$,此处 $$p=HF$$,即一般所称的「参量」(parameter)或是「正焦弦」。他将这个截痕称为 $$parabola$$,取其原意「刚好相等」来命名。

圆锥曲线中正焦弦的地位(The status of latu

在命题 $$12$$ 中,他在此截痕中(参考图2)先找出对称轴垂直的一个线段长 $$FL$$,则此截痕上任一点 $$M$$ 的纵座标 $$MN$$ 所得到正方形面积等于矩形 $$FX$$ 的面积,这个矩形等于以 $$FL$$ 为高度,以 $$FN$$ 为宽度的矩形,再加上另一个矩形 $$OLPX$$。

同样建立坐标系,以 $$F$$ 为原点,$$HF$$ 为 $$x$$ 轴,那幺 $$FX=x$$,$$MN=y$$,让 $$FL=p$$,$$HF=d$$,因为 $$HF:FL=OL:LP$$,即 $$d:p=x:LP$$,所以 $$LP={\frac{p}{d}}x$$,按照这个截痕的结论,可以得到 $$y^2=px+{\frac{p}{d}}x^2$$,此处 $$p=FL$$ 即为正焦弦。他将此截痕命名为$$hyperbola$$,取其原意「超过、大于」来命名。

在命题 $$13$$ 截痕为椭圆的情况下(参考图3),阿波罗尼斯同样先找出与 $$ED$$ 垂直的一个线段长 $$EH$$,那幺这个截痕上任一点 $$L$$,满足以 $$LM$$ 为边的正方形面积等于矩形 $$MO$$ 的面积,而矩形 $$MO$$,比以 $$EM$$ 为宽度,$$EH$$ 为高度的矩形还少了一个矩形 $$ON$$。

若在直角座标系上讨论,以 $$E$$ 当原点,$$ED$$ 当 $$x$$ 轴,那幺 $$EM=x$$,$$LM=y$$,让 $$EH=p$$,$$ED=d$$,首先,$$ED:EH=OX:OH$$,也就是 $$d:p=x:OH$$,所以 $$OH={\frac{p}{d}}x$$,那幺根据结果,可以得到 $$y^2=px-{\frac{p}{d}}x\cdot{x}$$,也就是 $$y^2=px-{\frac{p}{d}}x^2$$。其中 $$p=EH$$,也就是正焦弦。他将这个截痕称为 $$ellipse$$,取其原意为「缩小、小于」来命名。

圆锥曲线中正焦弦的地位(The status of latu

阿波罗尼斯在卷一的命题 $$11$$ 写到这个线段(参量),也叫做 $$\acute{o}\rho\theta\acute{i}\alpha$$(原文中的英译为upright side,即竖直边),拉丁文翻译时译作latus rectum,也成为一个英文名词,即是「正焦弦」之意。

当一个平面跟圆锥相截时,在这个截痕的图形中,它的「正焦弦」这一段长度即已经固定,阿波罗尼斯利用「比例$$(a:b::c:d)$$」,并以垂直于「直径」的方式作出这一段线段。在古希腊人比例式中,「$$::$$」意指「类比 analogin」,史家M.Fried认为阿波罗尼斯所用的「类比」,不只是比例式的抽象操弄而已,更是「类比」于它所代表的几何意义。他认为,圆锥截痕中的「直径」与「正焦弦」合成一个圆锥截痕的「图像」(figure),经由这个图像,可以「类比」出这个圆锥截痕的特性。

所以,阿波罗尼斯将正焦弦称为“upright side”,即是意指这个矩形的一边,再者阿波罗尼斯以这个矩形来表徵圆锥截痕,我们可以轻易的将这种方式,「翻译」成为直角座标系中的方程式:$$y=px\pm{\frac{p}{2a}}x^2$$。

在上述的三个命题中,阿波罗尼斯藉由正焦弦,巧妙地将三个圆锥截痕以一贯的、相似的形式来表徵。如果吾人适当地将这三个命题的内容与意涵融入教材时,数学教师将可以回答:正焦弦在圆锥曲线中所具有的几何意义,而它将不再只是考试会测验的一段长度而已。再者,教科书中虽然都以焦点的方式定义抛物线、椭圆与双曲线,但是,这三个名词所带有的几何关连性,在定义方式与随之而得的代数方程式中都无法凸显。反之,如果诉诸阿波罗尼斯的这三个命题,我们就可以找到一个为完整的、几何的形式来理解、进而欣赏圆锥曲线,这是目前教科书所建议採取的圆锥曲线教学所无法办到的。

无论如何,适当地使用数学史在数学教学中,教师的专业可以获得成长,学生的学习障碍也能有另一种形式的解决可能。

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